Найдите производные функций

Функция 1: y=(9-7x)^8

Для нахождения производной функции y=(9-7x)^8 применим правило дифференцирования для степенной функции.

Правило гласит: производная степенной функции равна произведению степени на производную основания, умноженную на логарифм основания.

Производная функции y=(9-7x)^8: [ y' = 8(9-7x)^7 \cdot (-7) ]

Упростим выражение: [ y' = -56(9-7x)^7 ]

Таким образом, производная функции y=(9-7x)^8 равна -56(9-7x)^7.

Функция 2: y=√(9x+1)

Для нахождения производной функции y=√(9x+1), используем правило дифференцирования для функции, содержащей корень.

Правило гласит: производная функции, содержащей корень, равна производной подкоренного выражения, деленной на удвоенный корень этого выражения.

Производная функции y=√(9x+1): [ y' = \frac{1}{2\sqrt{9x+1}} \cdot 9 ]

Упростим выражение: [ y' = \frac{9}{2\sqrt{9x+1}} ]

Таким образом, производная функции y=√(9x+1) равна (\frac{9}{2\sqrt{9x+1}}).

Функция 3: y=cos(x/2+π/4)

Для нахождения производной функции y=cos(x/2+π/4), применим правило дифференцирования для тригонометрических функций.

Правило гласит: производная функции синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tan) равна производной аргумента функции, умноженному на производную соответствующей тригонометрической функции.

Производная функции y=cos(x/2+π/4): [ y' = -\sin(x/2+π/4) \cdot \frac{1}{2} ]

Упростим выражение: [ y' = -\frac{\sin(x/2+π/4)}{2} ]

Таким образом, производная функции y=cos(x/2+π/4) равна (-\frac{\sin(x/2+π/4)}{2}).

Функция 4: y=\frac{2(5x+4)}{5x+4}

Для нахождения производной функции y=\frac{2(5x+4)}{5x+4}, применим правило дифференцирования для деления функций.

Правило гласит: производная функции, состоящей из отношения двух функций, равна разности производных числителя и знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

Производная функции y=\frac{2(5x+4)}{5x+4}: [ y' = \frac{(2 \cdot 5 - 2 \cdot (5x+4))}{(5x+4)^2} ]

Упростим выражение: [ y' = \frac{(10 - 10x - 8)}{(5x+4)^2} ]

Таким образом, производная функции y=\frac{2(5x+4)}{5x+4} равна (\frac{(2-10x - 8)}{(5x+4)^2}).

Это были примеры нахождения производных для различных функций с использованием стандартных правил дифференцирования.