Решение логарифма

Дано уравнение: $\lg x = \frac{1}{2} \lg 6 + 2 \lg 3$.

Для решения этого уравнения, используем свойства логарифмов:

Применим эти свойства к данному уравнению:

$\lg x = \frac{1}{2} \lg 6 + 2 \lg 3$

Перепишем $\frac{1}{2} \lg 6$ с помощью свойства 2:

$\lg x = \frac{1}{2} \lg (3 \cdot 2) + 2 \lg 3$

Раскроем скобки с использованием свойства 1:

$\lg x = \frac{1}{2} (\lg 3 + \lg 2) + 2 \lg 3$

Упростим:

$\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{1}{2} \lg 2 + 2 \lg 3$

$\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \lg 3 + \frac{1}{2} \lg 2$

$\lg x = \frac{3}{2} \lg 3 + \frac{1}{2} \lg 2$

Объединим коэффициенты:

$\lg x = \frac{3}{2} (\lg 3) + \frac{1}{2} (\lg 2)$

Заметим, что $\frac{3}{2} (\lg 3) + \frac{1}{2} (\lg 2) = \lg 3^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = \lg (3 \cdot \sqrt{2})$

Итак, уравнение принимает вид:

$\lg x = \lg (3 \cdot \sqrt{2})$

Теперь применим свойство 3:

$x = 3 \cdot \sqrt{2}$

Ответ: $x = 3 \cdot \sqrt{2}$