Помогите решить тригонометрическую задачу

Дано тригонометрическое уравнение:

tg(x) + ctg(x) = 2

Нам нужно найти все значения переменной x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Решение

Для начала, давайте перепишем уравнение в терминах синусов и косинусов:

sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x) = 2

Домножим уравнение на cos(x) * sin(x), чтобы избавиться от дробей:

sin(x)^2 + cos(x)^2 = 2 * cos(x) * sin(x)

Так как sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 (общее тригонометрическое тождество), уравнение упрощается:

1 = 2 * cos(x) * sin(x)

Так как cos(x) * sin(x) = 1/2, получаем:

1/2 = cos(x) * sin(x)

Теперь мы можем воспользоваться базовым тригонометрическим тождеством:

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Заменим sin(x) * cos(x) на 1/2:

sin(2x) = 2 * (1/2) sin(2x) = 1

Теперь нам нужно найти все значения x, для которых sin(2x) = 1.

Когда sin(2x) = 1, 2x может быть равно либо pi/2 + 2kpi, либо -pi/2 + 2kpi, где k - целое число.

Итак, получаем два уравнения:

2x = pi/2 + 2kpi 2x = -pi/2 + 2kpi

Решим эти два уравнения, чтобы найти значения x.

Для первого уравнения:

2x = pi/2 + 2kpi x = (pi/2 + 2kpi)/2 x = pi/4 + k*pi

Для второго уравнения:

2x = -pi/2 + 2kpi x = (-pi/2 + 2kpi)/2 x = -pi/4 + k*pi

Итак, мы нашли все значения x, которые удовлетворяют уравнению tg(x) + ctg(x) = 2:

x = pi/4 + kpi x = -pi/4 + kpi, где k - любое целое число.

Таким образом, решение тригонометрической задачи данной уравнения представляется в виде бесконечного множества значений x в зависимости от значения k.