Помогите найти предел lim (2x/1+2x)^-4x
Предельные значения являются важным понятием в математике, которое позволяет определить поведение функции при стремлении аргумента к определенному значению. В данной статье мы рассмотрим нахождение предела выражения (2x/1+2x)^-4x при x стремящемся к бесконечности.
Для начала, давайте заменим x на 2x в нашем выражении:
(2x/1+2x)^-4x при x стремящемся к бесконечности становится (4x/1+4x)^-2x при x стремящимся к бесконечности.
Теперь, чтобы упростить выражение, нам необходимо воспользоваться теоремой о пределе для составной функции. Согласно этой теореме, если функции f(x) и g(x) имеют пределы при x стремящемся к бесконечности, то предел их составной функции f(g(x)) будет равен f пределу g(x), при x стремящемся к бесконечности:
lim (f(g(x))) = lim f(g(x)), при x стремящемся к бесконечности.
Поэтому, применив данную теорему, мы можем переписать наше выражение как:
lim (4x/1+4x)^-2x = exp(lim -2x * log(4x/1+4x)), при x стремящемся к бесконечности.
Здесь мы применяем свойство непрерывности экспоненты и логарифма. При этом, берем натуральный логарифм от обеих сторон выражения, поскольку эта функция является непрерывной.
Теперь, используя свойства логарифмов, мы можем переписать выражение как:
lim (4x/1+4x)^-2x = exp(lim -2x * (log(4x)-log(1+4x))), при x стремящемся к бесконечности.
Продолжая упрощение, мы получаем:
lim (4x/1+4x)^-2x = exp(lim -2x * log(4x) + 2x * log(1+4x)), при x стремящемся к бесконечности.
Далее, применяем арифметические свойства пределов:
lim -2x * log(4x) + 2x * log(1+4x) = -2 * lim x * (log4 + logx) + 2 * lim x * log(1+4x), при x стремящемся к бесконечности.
Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что log(4x) = log4 + logx и log(1+4x) = log1 + log(1+4x).
Продолжаем:
-2 * lim x * (log4 + logx) + 2 * lim x * log(1+4x) = -2 * (log4 + lim x * logx) + 2 * lim x * log(1+4x), при x стремящемся к бесконечности.
Снова используя арифметические свойства пределов, получаем:
-2 * (log4 + lim x * logx) + 2 * lim x * log(1+4x) = -2 * log4 + 2 * log(1), при x стремящемся к бесконечности.
Здесь log1 = 0, поскольку log1 = log(1) = 0.
Итак, мы получили, что предел данного выражения lim (2x/1+2x)^-4x при x стремящемся к бесконечности равен:
lim (4x/1+4x)^-2x = exp(-2 * log4 + 2 * log(1)), при x стремящемся к бесконечности.
log1 = 0, exp(0) = 1, и поэтому:
lim (4x/1+4x)^-2x = 1, при x стремящемся к бесконечности.
Таким образом, мы нашли предел выражения (2x/1+2x)^-4x при x стремящемся к бесконечности, который равен 1.
- А отчего вы можете подпрыгнуть до потолка?
- Почему некоторые мужчины стремятся овладеть женщиной на лестнице?
- Как правильно сесть на унитаз?
- Как понять ее слова: Я сразу раздеваюсь и отдаюсь тебе без разговоров, потому что такого зануду надо еще поискать! 😉
- Если у меня от инсулина будет гипогликемия и я умру, вскрытие сможет распознать причину смерти?
- Помогите найти предел lim (2x/1+2x)^-4x
