Найдите площадь фигуры с помощью интеграла

В математике интеграл - это один из основных инструментов для нахождения площадей фигур. Интеграл позволяет найти площадь под кривой, а также площадь ограниченную произвольными кривыми.

Определение интеграла

Интеграл определен как предел суммы площадей бесконечно малых прямоугольников под кривой. Математическая запись интеграла выглядит следующим образом:

Здесь f(x) - это функция, задающая кривую, a и b - границы интегрирования.

Использование интеграла для нахождения площади фигуры

Для нахождения площади фигуры с помощью интеграла, нужно найти функцию, которая описывает границы фигуры и указать эти границы как пределы интегрирования.

Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью Ox на интервале [a, b].

Найдите функцию f(x), которая описывает верхнюю границу фигуры и определите границы интегрирования [a, b]. Обычно функцию f(x) можно найти из условий задачи или из визуального представления фигуры.
Запишите интеграл, используя функцию f(x) и границы интегрирования [a, b]:

\[ \text{Площадь} = \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Решите интеграл, используя соответствующие методы интегрирования (например, методы замены переменной или интегрирование по частям).
Подставьте границы интегрирования [a, b] в полученное выражение и вычислите интеграл:

\[ \text{Площадь} = F(b) - F(a) \]

где F(x) - это первообразная функции f(x).

Пример

Допустим, нужно найти площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x) = 2x + 3 и осью Ox на интервале [0, 4].

Функция f(x) задает верхнюю границу фигуры. Границы интегрирования равны [0, 4].
Интеграл для нахождения площади выглядит следующим образом:

\[ \text{Площадь} = \int\limits_{0}^{4} (2x + 3) \, dx \]

Решим этот интеграл:

\[ \text{Площадь} = \int(2x + 3) \, dx = x^2 + 3x \]

Подставим границы интегрирования [0, 4] в полученное выражение:

\[ \text{Площадь} = (4^2 + 3 \cdot 4) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 16 + 12 - 0 = 28 \]

Таким образом, площадь этой фигуры равна 28 квадратным единицам.

Использование интеграла для нахождения площади фигуры предоставляет удобный инструмент для аналитического вычисления площадей. Этот метод особенно полезен, если фигура не может быть разбита на простые геометрические фигуры с известными формулами для нахождения площади.