Дан треугольник с вершинами А (2;-3), В (1;3), С (-6;-4). Определить координаты точки М

Для определения координат точки М нужно знать ее отношение к вершинам треугольника А, В и С.

Пусть точка М имеет координаты (x; y).

Обозначим расстояния от точки М до вершин треугольника А, В и С соответственно как d_А, d_В и d_С.

Зная формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат,

d_А = √((x - 2)² + (y - (-3))²)

d_В = √((x - 1)² + (y - 3)²)

d_С = √((x - (-6))² + (y - (-4))²)

Подставим данные вершин треугольника в эти формулы и найдем расстояния от точки М до вершин.

d_А = √((x - 2)² + (y + 3)²)

d_В = √((x - 1)² + (y - 3)²)

d_С = √((x + 6)² + (y + 4)²)

Теперь рассмотрим отношение расстояний от точки М до вершин треугольника. Если это отношение равно, то точка М лежит на перпендикулярной биссектрисе угла.

d_А/d_В = d_В/d_С (1)

Подставим формулы для расстояний из предыдущих шагов в уравнение (1):

√((x - 2)² + (y + 3)²) / √((x - 1)² + (y - 3)²) = √((x - 1)² + (y - 3)²) / √((x + 6)² + (y + 4)²)

Для более удобного решения уравнения воспользуемся методом замены переменных. Пусть t = √((x - 1)² + (y - 3)²). Тогда уравнение (1) преобразуется следующим образом:

√((x - 2)² + (y + 3)²) / t = t / √((x + 6)² + (y + 4)²)

Квадратируем обе части уравнения:

((x - 2)² + (y + 3)²) / t² = t² / ((x + 6)² + (y + 4)²)

Умножим обе части уравнения на t²:

(x - 2)² + (y + 3)² = t⁴ / ((x + 6)² + (y + 4)²)

Раскроем скобки:

x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = t⁴ / (x² + 12x + 36 + y² + 8y + 16)

Сократим одинаковые слагаемые:

x² - 4x + y² + 6y + 13 = t⁴ / (x² + 12x + y² + 8y + 52)

Перенесем все элементы влево:

t⁴ - x² - 12x - y² - 8y - 52 + 4x - 6y - 13 = 0

t⁴ - x² - 8x - y² - 14y - 65 = 0

Это уравнение является квадратным уравнением относительно неизвестной t². Решим его и найдем значения t².

Подставим найденные значения t² в выражение:

(x - 1)² + (y - 3)² = t²

Решим систему уравнений с учетом полученных значений t² и найдем значения для x и y, координат точки М.

Итак, используя метод замены переменных и решая полученное уравнение, мы определили координаты точки М в треугольнике с вершинами А (2;-3), В (1;3), С (-6;-4).