Вероятность действительных корней уравнения
Условие задачи
Дано уравнение:
x^2 + px + q = 0,
где числа p и q лежат в отрезке [-1;1].
Необходимо найти вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными.
Решение
Обозначим дискриминант уравнения через D:
D = p^2 - 4q
Действительные корни уравнения существуют, когда D >= 0.
Таким образом, нужно найти площадь области в координатной плоскости, где D >= 0.
Построим график функции D(p,q) = p^2 - 4q:
Заметим, что кривая D = 0 является параболой с вершиной в точке (0,1).
Кроме того, область D >= 0 лежит ниже этой параболы. Эта область выделена на рисунке синим цветом.
Вычислим площадь этой области.
Площадь треугольника, ограниченного осью абсцисс и прямой q = -p/4 равна:
(1/2) * 1 * (1/2) = 1/4
Площадь сегмента параболы, ограниченного прямыми q = -1 и q = -p/4 равна:
(1/3) * (1 - (-1)) * (1/2) = 2/3
Таким образом, общая площадь области D >= 0 равна:
1/4 + 2/3 = 11/12
Искомая вероятность равна отношению площади этой области к площади всего квадрата [-1;1] x [-1;1]:
11/12 / 4 = 11/48
Ответ
Вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут действительными, равна 11/48.
- А противозач. таблетки приводят в норму гормоны? Или они только как контрацепция?
- НЕ залэжная отказалась бы от гривны в пользу доллара?
- В чем причина такой провальной игры Шараповой?
- В последнее время у меня болит давит в области сердца, но не сердце, а кость.
- Вероятность действительных корней уравнения
- Какие сюрпризы вы делали Любимым?