Вычислить неопределенный интеграл: Интеграл sin5x*cos^2x dx

Для решения данного интеграла мы воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрируя по частям, мы получаем:

∫sin5xcos^2x dx = -1/2cos^2xsin5x + 5/2∫cos^3x*sin5x dx

Далее, чтобы вычислить ∫cos^3x*sin5x dx, мы воспользуемся заменой переменной: u = cos(x).

Тогда, мы можем выразить sin(x) через cos(x), а также выразить dx через du: sin(x) = sqrt(1 - cos^2x), dx = -sinxdu

Подставляя полученные выражения в ∫cos^3x*sin5x dx, получаем:

∫cos^3xsin5x dx = ∫cos^2xsin5xcosx dx = ∫cos^2x(1 - sin^2x)*cosx dx = ∫(cos^3x - cosxsin^2x)dx

Теперь мы можем вычислить неопределенный интеграл:

∫sin5xcos^2x dx = -1/2cos^2xsin5x + 5/2∫cos^3xsin5x dx = -1/2cos^2xsin5x + 5/2(∫cos^3x dx - ∫cosxsin^2x dx)

∫cos^3x dx может быть вычислено с помощью замены переменной: v = sin(x), а ∫cosxsin^2x dx - с помощью интегрирования по частям.

Таким образом, мы получаем:

∫sin5xcos^2x dx = -1/2cos^2xsin5x + 5/2(1/3sin^3x - 1/2cosxsin^2x) + C

где C - произвольная постоянная.