В треугольнике МРК с углов Р=90 градусов проведена медиана МЕ. Найди РМ, если РЕ=2 см, МК=5см

В данной задаче нам необходимо найти РМ - один из отрезков медианы, проведенной в прямоугольном треугольнике МРК. Также нам даны значения РЕ и МК, которые нам понадобятся для решения задачи.

Первым шагом решения задачи будет нахождение длины отрезка РМ. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

$MK^2 = RK^2 + RM^2$

Так как треугольник МРК прямоугольный, то РК - это гипотенуза треугольника. Длина РК находится по теореме Пифагора:

$RK^2 = MR^2 + RK^2$

Отсюда следует, что:

$MK^2 = MR^2 + RK^2 + RM^2$

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

$5^2 = MR^2 + RK^2 + 2^2$

$25 = MR^2 + RK^2 + 4$

Также нам известно, что одна из медиан в треугольнике делит другую медиану пополам. Это значит, что отрезок РЕ также является медианой, и его длина в два раза больше длины отрезка МЕ:

$RE = 2 \cdot ME = 4$ см

Теперь воспользуемся связью медиан и выразим длину отрезка РМ через длину РЕ и МК:

$RM = \sqrt{\frac{2MK^2+2RK^2-MR^2}{4}}$

Подставим значение МК и выражения для RK и MR через РМ:

$RM = \sqrt{\frac{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot (RM/2)^2 - RM^2}{4}}$

$RM = \sqrt{\frac{50+RM^2/2-RM^2}{4}}$

$RM = \sqrt{\frac{25}{2}-\frac{RM^2}{8}}$

Упростим выражение:

$RM^4 - 200RM^2 + 400 = 0$

Найдем корни уравнения:

$RM^2 = 100 \pm 20\sqrt{15}$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то решением является:

$RM^2 = 100 + 20\sqrt{15}$

$RM = \sqrt{100 + 20\sqrt{15}} \approx 8.94$ см

Таким образом, мы нашли длину отрезка РМ, который составляет примерно 8.94 см.