В треугольнике ABC BD - биссектриса. Докажите, что CD меньше CB

Дано: В треугольнике ABC биссектриса BD, которая делит угол B на два равных угла.

Требуется: Доказать, что отрезок CD меньше отрезка CB.

Доказательство: Предположим, что CD больше CB.

Этот предположение приведет к двум случаям:

Если BDC – остроугольный треугольник.

В этом случае, по теореме о неравенстве треугольника, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Так как CD больше CB, то значит сумма сторон BC и CD будет больше стороны BD:

BC + CD > BD

Также, по определению биссектрисы, BD делит угол B на два равных угла. Это означает, что треугольник BCD является равнобедренным, и стороны BC и CD равны между собой:

BC = CD

Получается, что:

CD + CD > BD

2CD > BD

Но согласно теореме о неравенстве треугольника, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Так как BD является стороной треугольника BCD, поэтому 2CD должно быть больше BD:

2CD > BD

Это противоречит тому, что предположили в начале, что CB больше CD.

Если BDC – тупоугольный треугольник.

BC + CD > BD

Опять же, по определению биссектрисы, BD делит угол B на два равных угла. Это означает, что треугольник BCD является равнобедренным, и стороны BC и CD равны между собой:

BC = CD

Получается, что:

CD + CD > BD

2CD > BD

Это противоречит тому, что предположили в начале, что CB больше CD.

Таким образом, наше предположение неверно, и CD меньше CB.