Существует ли число корень из двух на рациональной прямой?

Математическая дисциплина известная как иррациональные числа вводит в наш мир понятие числа, которое не может быть представлено как дробь. Одним из наиболее известных иррациональных чисел является число "корень из двух" ($\sqrt{2}$). Но существует ли такое число на рациональной прямой? Давайте разберемся.

Рациональные числа

Рациональные числа - это числа, которые могут быть представлены в виде дробей, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Например, число 1/2, -3/4, 5/1 - все они являются рациональными числами. Рациональные числа обладают важным свойством: они могут быть представлены точно на числовой линии, без оставления "пустого пространства".

Иррациональные числа

Иррациональные числа - это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби. Корень из двух является иррациональным числом, и его точное значение не может быть выражено в виде десятичной дроби или простой дроби. Оно непериодическое и неограниченное в своих десятичных разрядах. Точное значение корня из двух равно примерно 1,41421356.

Доказательство

Чтобы понять, почему корень из двух не является рациональным числом, мы можем использовать метод от противного. Предположим, что корень из двух является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ - целые числа без общих делителей. Мы должны найти такие $a$ и $b$, для которых это утверждение не верно.

Подставим значение корня из двух в предполагаемую дробь:

$(\frac{a}{b})^2 = 2$

$a^2 = 2b^2$

Это уравнение показывает, что $a^2$ четное, поскольку $2b^2$ также четное. Из этого следует, что $a$ также четное (четное число в квадрате дает в результате четное число). Тогда заменим $a$ на $2c$ и подставим обратно в уравнение:

$(2c)^2 = 2b^2$

$4c^2 = 2b^2$

$2c^2 = b^2$

Это означает, что $b^2$ тоже четное, и поэтому $b$ тоже четное.

Таким образом, мы получили, что и $a$ и $b$ являются четными числами. Это противоречие нашему изначальному предположению о том, что $a$ и $b$ не имеют общих делителей. Поэтому, мы не можем представить корень из двух в виде рациональной дроби.

Заключение

Таким образом, мы можем заключить, что корень из двух не может быть представлен в виде рациональной дроби на числовой линии. Это иррациональное число, которое не имеет конечной или периодической десятичной записи. Изучение чисел, таких как иррациональные числа, помогает расширить наше понимание математики и природы чисел.