Решение уравнения $\cos^2x + 3 = 4\cos x$

Для начала решим данное уравнение путем замены. Пусть $u = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$u^2 + 3 = 4u$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$u^2 - 4u + 3 = 0$

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Попробуем найти два числа, сумма которых равна -4, а их произведение равно 3. Понятно, что такими числами являются -3 и -1.

Таким образом, можем разложить уравнение на множители:

$(u - 3)(u - 1) = 0$

По свойству нулевого произведения, получим два уравнения:

$u - 3 = 0$ или $u - 1 = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности:

$u - 3 = 0$

$u = 3$

$u - 1 = 0$

$u = 1$

Теперь, вернемся к исходной переменной $x$. Так как $u = \cos x$, мы получаем два уравнения:

$\cos x = 3$

$\cos x = 1$

Однако, значения косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1. Значит, уравнение $\cos x = 3$ не имеет решений.

Мы получаем, что $\cos x = 1$. Значение косинуса равно 1 только при $x = 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Таким образом, решение уравнения $\cos^2x + 3 = 4\cos x$ равно $x = 2\pi n$, где $n$ - целое число.