Решение уравнения Y'tgx = y * lny

Дано уравнение: Y'tgx = y * lny

Чтобы решить данное уравнение, нам нужно найти значение Y в зависимости от y и x, учитывая логарифм.

Давайте по шагам разберемся с решением:

Сначала найдем первообразную от обеих частей уравнения. Для удобства дальнейших вычислений обозначим Y' как z: ztgx = ylny.
Проинтегрируем обе части уравнения по переменной x. Для этого проинтегрируем левую часть по формуле интегрирования тангенса и правую часть по формуле интегрирования логарифма. Получим следующее уравнение: ∫ztgx dx = ∫ylny dx.
Для вычисления интеграла ∫ztgx dx, воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: ∫u * v dx = u ∫v dx - ∫u' (∫v dx) dx.

В данном случае выберем u = tgx, и его производная равна u' = sec^2(x).

Выберем v' = z, и проинтегрируем ее: v = ∫z dx.

Получим: ztgx - ∫(sec^2(x) * ∫z dx) dx = ∫ylny dx.
Заметим, что ∫(sec^2(x) * ∫z dx) dx = ∫(sec^2(x) * v) dx = v ∫sec^2(x) dx = v * tanx + C1, где C1 - произвольная постоянная.
Подставим полученные значения в уравнение: ztgx - (v * tanx + C1) = ∫ylny dx.

Упростим выражение: ztgx - v * tanx - C1 = ∫ylny dx.
Заметим, что ∫ylny dx = ∫lny dy = ∫lnu du = u * ln|u| - ∫u * ∂(ln|u|) du = u * ln|u| - ∫u * du, где u = y, ∂(ln|u|) - обозначение производной от natural logarithm of absolute value of u.

Получим: ztgx - v * tanx - C1 = y * ln|y| - ∫u * du.
Проинтегрируем ∫u * du, получим ∫u * du = (1/2) * u^2 + C2, где С2 - произвольная постоянная.

Получим итоговое уравнение: ztgx - v * tanx - C1 = y * ln|y| - (1/2) * y^2 + C2.
Данное уравнение является общим решением исходного уравнения Y'tgx = y * lny.

Для получения частного решения необходимо учитывать начальные условия, заданные в задаче.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения Y'tgx = y * lny.