Решить геометрическую прогрессию

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия (ГП) - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на определенное число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначается как $a \cdot q^n$, где $a$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии, $n$ - порядковый номер члена прогрессии.

Формула для нахождения членов геометрической прогрессии

Чтобы решить геометрическую прогрессию, необходимо знать формулу для нахождения её членов. Формула выглядит следующим образом:

$a_n = a \cdot q^{(n-1)}$

где $a_n$ - n-ый член прогрессии, $a$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии.

Пример решения геометрической прогрессии

Для примера предположим, что у нас есть геометрическая прогрессия, в которой первый член $a = 2$ и знаменатель прогрессии $q = 3$. Нам нужно найти шестой член прогрессии.

$a_6 = 2 \cdot 3^{(6-1)}$

Выполняем вычисления:

$a_6 = 2 \cdot 3^5$

$a_6 = 2 \cdot 243$

$a_6 = 486$

Таким образом, шестой член прогрессии в данном случае будет равен 486.

Свойства геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обладает несколькими свойствами:

Каждый член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на знаменатель прогрессии.
Отношение любых двух последовательных членов прогрессии всегда одинаково и равно знаменателю прогрессии.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

$S_n = a\frac{(1-q^n)}{(1-q)}$

где $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии.

Заключение

Геометрическая прогрессия - это важное понятие в математике, которое широко применяется в различных областях науки и техники. Знание формул и свойств геометрической прогрессии позволяет решать задачи, связанные с вычислением членов и сумм прогрессии.