Помогите решить: $\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2}$
Одно из самых важных понятий в математике - это предел. Предел показывает, к какому числу стремится функция приближаясь к определенной точке. В данной статье мы рассмотрим предел ряда чисел, чтобы помочь разобраться с выражением:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2}$$
Для начала, разберемся с арифметической прогрессией $1 + 2 + \ldots + n$.
Сумму такой прогрессии можно найти с помощью формулы:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
где $S_n$ - сумма прогрессии, $n$ - количество элементов, $a_1$ - первый элемент, $a_n$ - последний элемент.
В нашем случае, первый элемент $a_1 = 1$, последний элемент $a_n = n$. Подставим значения в формулу и упростим:
$$S_n = \frac{n(1 + n)}{2}$$
Теперь мы можем заменить сумму прогрессии в исходном выражении:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n(1 + n)}{2}}{n^2}$$
Упрощаем дробь:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2 + n}{2}}{n^2}$$
Теперь, чтобы найти предел данного выражения, мы можем сократить $n^2$ и получим следующий результат:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{n}}{1}$$
У нас осталось:
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{n}\right)$$
Легко заметить, что второе слагаемое $\frac{1}{n}$ будет стремиться к нулю при $n \to +\infty$.
Таким образом, предел выражения будет равен:
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$$
Итак, предел ряда чисел $\frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2}$ при $n \to +\infty$ равен $\frac{1}{2}$.