Помогите проверить, пожалуйста

Задано уравнение:

$$6\cos^2{x} - 7\cos{x} - 5 = 0$$

И нужно найти все его корни.

Для начала, нужно решить квадратное уравнение относительно $\cos{x}$. Для этого воспользуемся алгоритмом решения квадратного уравнения:

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4\cdot6\cdot(-5) = 289$
Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень: $x = -\frac{b}{2a}$
Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае $D > 0$, поэтому уравнение имеет два корня:

$$\cos{x}_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2\cdot6}$$

$$\cos{x}_{1,2} = \frac{7 \pm 17}{12}$$

Из этих уравнений получаем два значения $\cos{x}$:

$$\cos{x}_1 = \frac{1}{2}$$

$$\cos{x}_2 = -\frac{5}{3}$$

Теперь нужно найти все возможные значения $x$. Для этого воспользуемся обратной функцией косинуса:

$$x = \arccos{\cos{x}} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Для первого корня, $\cos{x}_1 = \frac{1}{2}$, получаем:

$$x_1 = \arccos{\frac{1}{2}} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Так как $\frac{1}{2}$ - это не единственное значение $\cos{x}$, можно записать это выражение более кратко:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Для второго корня, $\cos{x}_2 = -\frac{5}{3}$, получаем:

$$x_2 = \arccos{-\frac{5}{3}} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Заметим, что $\arccos{-\frac{5}{3}} = \pi + \arccos{\frac{5}{3}}$. Тогда:

$$x_2 = \pi + \arccos{\frac{5}{3}} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, все корни уравнения можно записать в виде:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi + \arccos{\frac{5}{3}} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Итого:

$$x = \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \pi \pm \arccos{\frac{5}{3}}, \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Вывод

Таким образом, решением уравнения $6\cos^2{x} - 7\cos{x} - 5 = 0$ являются значения $x = \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \pi \pm \arccos{\frac{5}{3}}, \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.