Помогите исследовать сходимость ряда

Рассмотрим ряд, заданный формулой:

Для начала заметим, что каждый следующий член ряда получается путем умножения предыдущего на некоторое число, которое также увеличивается с каждым шагом. Это означает, что ряд имеет произведение типа "название ряда" и может быть разложен на произведение отдельных выражений.

Для удобства исследования сходимости преобразуем ряд, выделив общий множитель:

Теперь рассмотрим каждое выделенное выражение по отдельности:

Итак, мы видим, что каждое выделенное выражение представляет собой произведение двух чисел, одно из которых является числом, увеличивающимся с каждым шагом, а другое - числом, увеличивающимся на один меньше с каждым шагом. Это очень похоже на произведение факториалов.

Для дальнейшего анализа ряда воспользуемся инструментами теории рядов и предельных переходов. Найдем предел произведения факториалов числового ряда:

Оказывается, что предел этого произведения равен бесконечности. Из этого следует, что исходный ряд расходится.

Таким образом, исследование сходимости ряда показало, что он расходится. Это означает, что сумма бесконечного числа слагаемых ряда не имеет конечного значения.

Надеюсь, данная статья помогла вам лучше понять сходимость и расходимость рядов и их исследование с помощью математических инструментов.