Плоскость альфа и ее проекции на основание трапеции ABCD

Рассмотрим трапецию ABCD, где точка D лежит на продолжении стороны BC. Пусть плоскость альфа проходит через основание AD этой трапеции, а точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно.

Доказательство

Предположим, что точка P принадлежит плоскости альфа. Нам нужно доказать, что плоскость альфа проходит через точку P, а значит, P лежит в плоскости, определяемой основанием AD.

Рассмотрим треугольник ABP. Так как точка E является серединой отрезка AB, то AE = EB. Следовательно, AP = BP.

Рассмотрим теперь треугольник CDP. Так как точка F является серединой отрезка CD, то CF = FD. Следовательно, CP = DP.

Таким образом, имеем AP = BP и CP = DP. Заметим также, что отрезки AD и BC параллельны, так как AD -- одна из сторон трапеции, а BC -- ее основание.

Из этих равенств и параллельности следует, что треугольники APD и BPC равны. Это связано с тем, что они имеют по две равные стороны (AP = BP и CP = DP) и общий угол при вершине P.

Таким образом, у нас получается следующая картинка:

      A-----P-----D
     /             \
    /               \
   /                 \
  B-------------------C

Так как треугольник APD равен треугольнику BPC, им соответствуют равные углы. Следовательно, плоскость альфа будет являться плоскостью, проходящей через основание AD трапеции ABCD.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что плоскость альфа, проходящая через основание AD трапеции ABCD, содержит точки E и F, являющиеся серединами отрезков AB и CD соответственно. Доказательство основывается на равенствах сторон и уголевых соотношениях между треугольниками APD и BPC.