Периметр прямоугольника равен 16 см. Найди его площадь.

Периметр прямоугольника определяется как сумма длин его сторон. В данном случае периметр равен 16 см. Для нахождения площади прямоугольника описанного размера, необходимо знать его стороны.

Обозначим длину прямоугольника через a, а ширину через b. Тогда периметр равен:

            P = 2a + 2b

По условию задачи периметр равен 16 см:

            2a + 2b = 16

Теперь мы должны найти площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

            S = a * b

Чтобы найти площадь, нам нужно выразить одну из переменных (a или b) через другую, используя формулу для периметра. Рассмотрим два случая:

Когда стороны прямоугольника одинаковые (квадратный прямоугольник).

Если a = b, то формула для периметра принимает вид:
```
         2a + 2a = 16
         4a = 16
         a = 4
```
Зная длину, мы можем найти ширину:
```
         S = a * a = 4 * 4 = 16
```
Таким образом, площадь квадратного прямоугольника равна 16 квадратных см.
Когда стороны прямоугольника разные.

Выразим b через a с использованием формулы для периметра:
```
         2a + 2b = 16
         2b = 16 - 2a
         b = 8 - a/2
```
Подставим это выражение в формулу для площади и упростим:
```
         S = a * b = a * (8 - a/2) = 8a - (a^2)/2
```
Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника при заданном периметре, нужно найти значение a, при котором S будет максимальной. Для этого найдем максимум площади путем нахождения экстремума функции S(a) = 8a - (a^2)/2.

Найдем производную функции площади и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:
```
         S'(a) = 8 - a = 0
         a = 8
```
Если мы подставим значение a = 8 обратно в формулу, мы получим:
```
         S = 8 * 8 - (8^2) / 2 = 32
```
Таким образом, площадь прямоугольника с периметром 16 см будет максимальной и равной 32 квадратных см.

В результате получаем, что площадь прямоугольника, периметр которого равен 16 см, может быть равна либо 16 квадратным см в случае квадратного прямоугольника, либо 32 квадратным см в случае прямоугольника с длинной стороны 8 см и шириной 4 см.