Найти точку максимума функции y = 2/3x^3 - x^2 - 12x + 7

Для нахождения точки максимума функции необходимо произвести анализ её производной.

Производная функции

Найдём первую производную функции y:

y' = 2x^2 - 2x - 12

Нахождение корней производной

Найдём корни уравнения y' = 0, чтобы определить точки экстремума функции:

2x^2 - 2x - 12 = 0

Вынесем 2 за скобки:

2(x^2 - x - 6) = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-1)^2 - 4·1·(-6) = 25

x1 = (1 + 5) / 2 = 3

x2 = (1 - 5) / 2 = -2

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x = 3 и x = -2.

Определение типа экстремума

Для определения типа экстремума необходимо произвести анализ знака второй производной функции.

y'' = 4x - 2

Теперь найдём значения y'' в точках x = 3 и x = -2:

y''(3) = 4·3 - 2 = 10 > 0

y''(-2) = 4·(-2) - 2 = -10 < 0

Таким образом, в точке x = 3 функция y имеет локальный минимум, а в точке x = -2 - локальный максимум.

Нахождение значения функции в точке максимума

Чтобы найти значение функции в точке максимума, подставим x = -2 в исходную функцию y:

y(-2) = 2/3·(-2)^3 - (-2)^2 - 12·(-2) + 7 = -45

Таким образом, точка максимума функции находится в точке (-2,-45).

Вывод

Точка максимума функции y = 2/3x^3 - x^2 - 12x + 7 находится в точке (-2,-45), а точка минимума - в точке (3,-34). Для нахождения точек экстремума был произведён анализ первой и второй производных функции.