Нахождение grad u(М) и du/dl (M)

Для начала определим выражение для функции u:

u = xy / (x + y)

Для того чтобы найти grad u(М), необходимо использовать оператор градиента. Оператор градиента функции u = u(x, y) определяется следующим образом:

grad u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j

где i и j - единичные векторы.

Давайте теперь найдем частные производные функции u по x и y:

∂u/∂x = y(y + x) / (x + y)² ∂u/∂y = x(x + y) / (x + y)²

Теперь мы можем найти grad u(М). Подставим координаты точки М в найденные частные производные:

∂u/∂x(M) = 3(3 + 1) / (1 + 3)² = 12/16 = 3/4 ∂u/∂y(M) = 1(1 + 3) / (1 + 3)² = 4/16 = 1/4

grad u(M) = (3/4)i + (1/4)j

Таким образом, мы нашли grad u(M) и его значение равно (3/4)i + (1/4)j.

Теперь давайте найдем du/dl(M). Для этого нам понадобятся значения частных производных функции u по направлениям l.

∂u/∂l = grad u(M) * l

где * - операция скалярного произведения.

В нашем случае, l = (4, 3)

grad u(M) * l = (3/4 * 4) + (1/4 * 3) = 12/4 + 3/4 = 15/4

Таким образом, мы нашли значение du/dl(M), которое равно 15/4.

Итак, мы нашли grad u(M) = (3/4)i + (1/4)j и du/dl(M) = 15/4.