Математика: разложить на множители

Одной из основных задач алгебры является разложение многочленов на множители. Разложение многочленов на множители позволяет упростить задачу и найти все его корни, а также получить полное представление многочлена.

Данное задание предлагает разложить выражение (x^2+x+3)(x^2+x+4)-12 на множители. Для начала рассмотрим отдельно два множителя (x^2+x+3) и (x^2+x+4).

Разложение на множители множителя (x^2+x+3)

Выражение x^2+x+3 является квадратным трехчленом без корней. Для его разложения на множители можно воспользоваться методом группировки или методом полного квадрата. Воспользуемся методом группировки:

x^2 + x + 3 = (x + a)(x + b)

где a и b - коэффициенты, которые нужно найти. Разложим константу 3 на два множителя:

1 * 3 = 3

Теперь найдем такие значения a и b, чтобы выполнялось:

a + b = 1
a * b = 3

Решая данную систему уравнений, получим a = -1 и b = 4. Таким образом, разложение множителя x^2 + x + 3 на множители будет иметь вид:

x^2 + x + 3 = (x - 1)(x + 4)

Разложение на множители множителя (x^2+x+4)

Для разложения множителя x^2 + x + 4 на множители воспользуемся тем же методом группировки:

x^2 + x + 4 = (x + p)(x + q)

Разложим константу 4 на все возможные пары множителей:

1 * 4 = 4
2 * 2 = 4

Найдем такие значения p и q, чтобы выполнялось:

p + q = 1
p * q = 4

Решая данную систему уравнений, получим p = -1 и q = 5. Таким образом, разложение множителя x^2 + x + 4 на множители будет иметь вид:

x^2 + x + 4 = (x - 1)(x + 5)

Разложение всего выражения (x^2+x+3)(x^2+x+4)-12

Теперь, когда мы имеем разложения обоих множителей на множители, можем записать исходное выражение:

(x^2+x+3)(x^2+x+4)-12 = (x - 1)(x + 4)(x - 1)(x + 5) - 12

Получившуюся запись можно дополнительно упростить, объединяя одинаковые множители:

(x - 1)^2(x + 4)(x + 5) - 12

Таким образом, выражение (x^2+x+3)(x^2+x+4)-12 разложено на множители и представлено в упрощенном виде.

Разложение многочленов на множители является важной темой в алгебре, которая находит применение в различных областях, таких как физика, экономика и теория вероятностей. Этот метод позволяет анализировать и решать сложные задачи, а также находить корни многочленов.