Как решить это уравнение $6x^2 + 5у^2=74$?

Уравнения вида $ax^2 + by^2 = c$ - это уравнения с двумя переменными и являются уравнениями эллипсов.

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значения переменных $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Нам необходимо привести уравнение к стандартному виду. Для этого мы делим обе части уравнения на 74, чтобы коэффициент при правой стороне уравнения стал равным 1:

$\frac{6x^2}{74} + \frac{5y^2}{74} = 1$

$\frac{3x^2}{37} + \frac{5y^2}{74} = 1$

Шаг 2: Определение типа эллипса

Определение типа эллипса позволяет нам понять, как выглядит эллипс и какие значения x и y удовлетворяют уравнению.

Для этого мы сравниваем числители дробей в уравнении с 1:

$\frac{3x^2}{37} \implies a = \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{5y^2}{74} \implies b = \sqrt{\frac{1}{b}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$a$ и $b$ являются коэффициентами при переменных $x^2$ и $y^2$ соответственно.

Если $a > b$, то эллипс имеет форму, направленную вдоль оси $x$, если $b > a$ - вдоль оси $y$.

В данном случае, $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $b = \frac{1}{\sqrt{5}}$, поэтому эллипс будет вытянут вдоль оси x.

Шаг 3: Нахождение вершин и фокусов эллипса

Для нахождения вершин эллипса и его фокусов, мы используем значения a и b, которые мы уже определили.

Вершины эллипса: $(\pm \sqrt{\frac{c}{a}}, 0)$
Фокусы эллипса: $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$

Подставив значения из нашего уравнения, мы получим:

Вершины: $(\pm \sqrt{\frac{37}{3}}, 0)$
Фокусы: $(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}, 0)$

Вывод

Уравнение $6x^2 + 5y^2 = 74$ определяет эллипс, который вытянут вдоль оси x. Вершины эллипса находятся в точках $(\pm \sqrt{\frac{37}{3}}, 0)$, а фокусы эллипса - в точках $(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}, 0)$.