Есть матрица A квадратная, есть матрица AT -транспонтрованная, чему будет равно их произведение? A*AT=?

В математике, квадратная матрица - это матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов. Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n. Транспонированная матрица AT строится путем замены строк на столбцы и столбцов на строки.

Интересно узнать, что получится при умножении таких матриц? Рассмотрим произведение матрицы A и ее транспонированной AT, обозначаемое A*AT.

Результирующая матрица имеет размерность n x n и каждый элемент находится путем перемножения строки матрицы A на столбец матрицы AT. То есть, элемент (i, j) новой матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы AT.

Давайте рассмотрим пример для более наглядного представления. Пусть у нас есть матрица A:

A = [ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \ \end{bmatrix} ]

Тогда транспонированная матрица AT будет выглядеть следующим образом:

AT = [ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 9 \ \end{bmatrix} ]

А теперь вычислим произведение матрицы A и ее транспонированной AT:

A*AT = [ \begin{bmatrix} (11 + 22 + 33) & (14 + 25 + 36) & (17 + 28 + 39) \ (41 + 52 + 63) & (44 + 55 + 66) & (47 + 58 + 69) \ (71 + 82 + 93) & (74 + 85 + 96) & (77 + 88 + 9*9) \ \end{bmatrix} ]

Упрощая эту матрицу, получим:

A*AT = [ \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \ 32 & 77 & 122 \ 50 & 122 & 194 \ \end{bmatrix} ]

Таким образом, произведение матрицы A и ее транспонированной AT равно:

A*AT = [ \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \ 32 & 77 & 122 \ 50 & 122 & 194 \ \end{bmatrix} ]

Это и есть результат умножения указанных матриц.