Докажите, что при любом целом неотрицательном n выражение $(7\cdot5^{2n}+12\cdot6^n)$ делится на 19.
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
База индукции:
Для $n=0$ имеем:
$$7\cdot5^{2\cdot0}+12\cdot6^0=7\cdot1+12\cdot1=19$$
Таким образом, база индукции верна.
Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$$7\cdot5^{2k}+12\cdot6^k \equiv 0 \pmod{19},$$
т.е. $7\cdot5^{2k}+12\cdot6^k$ делится на 19.
Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$:
$$7\cdot5^{2(k+1)}+12\cdot6^{k+1}=7\cdot5^{2k+2}+12\cdot6^k\cdot6$$
Разложим $7\cdot5^{2k+2}$ в произведение:
$$7\cdot5^{2k+2} = 7\cdot25\cdot5^{2k} = 175\cdot5^{2k}$$
Тогда выражение принимает вид:
$$175\cdot5^{2k}+12\cdot6^k\cdot6$$
Разложим $175$ на множители, используя то, что $175=19\cdot9+8$:
$$175\cdot5^{2k}+12\cdot6^k\cdot6 = (19\cdot9+8)\cdot5^{2k}+12\cdot6^k\cdot6$$
$$=19\cdot9\cdot5^{2k}+8\cdot5^{2k}+12\cdot2^k\cdot3\cdot6^k$$
Заметим, что $8\cdot5^{2k}$ кратно 19, так как $8=19-11$ и $5^2=25=19+6$, а слагаемое $19\cdot9\cdot5^{2k}$ кратно 19 по условию индукции. Осталось доказать, что $12\cdot2^k\cdot3\cdot6^k$ также кратно 19.
$$12\cdot2^k\cdot3\cdot6^k=72(2^{k-3})\cdot6^k$$
$2^{k-3}$ - это степень двойки, а $6^k$ - степень шести. Поэтому раскладываем $72$ на простые сомножители:
$$72=3^2\cdot2^3$$
Заметим, что $2^{k-3}$ кратно 19, так как $2^3=8=19-11$ и $2^2=4=19-15$. Осталось доказать, что $3^2\cdot6^k$ также кратно 19.
$$3^2\cdot6^k=9\cdot6^k=9\cdot(19-13)\cdot6^k$$
$$=9\cdot19\cdot6^k-9\cdot13\cdot6^k=171\cdot6^k-117\cdot6^k=54\cdot6^k$$
Слагаемое $54\cdot6^k$ кратно 19, так как $54=19\cdot2+16$ и $6=19-13$.
Таким образом, все слагаемые в выражении кратны 19, значит, и всё выражение кратно 19.
Итак, мы доказали, что при любом целом неотрицательном $n$ выражение $(7\cdot5^{2n}+12\cdot6^n)$ делится на 19.
