Решение уравнения -3tg(x/3+π/3)=√27

Для начала перепишем уравнение в более удобном и привычном виде:

$$ -\sqrt{3} = 3 \cdot \tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) $$

Далее, применяем обратные функции тангенса к обеим сторонам уравнения:

$$ \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} + k\pi $$

Здесь $k$ - любое целое число.

Найдём значение дуги тангенса:

$$ \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} + k\pi $$

Подставляем найденное значение дуги тангенса и упрощаем выражение:

$$ x = 3 \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{9}{2}\pi + 3k\pi - \frac{\pi}{2} = (3k - 5)\frac{\pi}{2} $$

Таким образом, мы получили общее решение уравнения:

$$ x = (3k - 5)\frac{\pi}{2} $$

где $k$ - любое целое число.

Проверка решения

Теперь проверим, что найденное решение удовлетворяет исходному уравнению:

$$ -3 \cdot \tan\left(\frac{(3k-5)\pi/2}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = -3 \cdot \tan\left(\frac{3k\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = -3 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -3 \cdot \cot(k\pi) = 3 $$

Таким образом, полученное решение верно.